Question

已知，如图△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=，BD=2，求平分线AD的长，AB，AC的长，外接圆的面积，内切圆的面积．

Answer

首先设AC的长为x，过D作DE垂直AB于点E．根据角平分线的性质定理及相似三角形的性质，可得到关系式4x2=27+x2，解得x即为AC的长，再利用勾股定理求得AB、AD的长．根据直角三角形内切圆的性质、外接圆的性质，求得其半径，根据圆的面积计算公式即可求出结果．
【解析】
设AC的长为x，过D作DE垂直AB于点E，
则BC=BD+DC=，AB===，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
∵Rt△BED∽Rt△BCA，
∴，
即⇒4x2=27+x2，
解得x=3或x=-3（不合题意舍去），
AD===，
∴AB==6，
显然可知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，
∴Rt△ABC外接圆的面积=π•32=9π，
Rt△ABC内切圆的半径===，
Rt△ABC内切圆的面积==（9-）π．
答：平分线AD的长为，AB的长为6，AC的长3，外接圆的面积为9π，内切圆的面积是（9-）π．