Question

已知关于x的方程x²+（4k+1）x+2k-1=0．
（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若x₁，x₂是方程的两个实数根，且（x₁-2）（x₂-2）=2k-3，求k的值．

Answer

（1）需证得根的判别式恒为正值．
（2）（x1-2）（x2-2）=2k-3，即x1x2-2（x1+x2）+4=2k-3，依据根与系数的关系，列出关于k的方程求解则可．
（1）证明：△=b2-4ac
=（4k+1）2-4（2k-1）
=16k2+8k+1-8k+4=16k2+5，
∵k2≥0，∴16k2≥0，∴16k2+5＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．

（2）【解析】
根据题意，得x1+x2=-（4k+1），x1x2=2k-1，
∴（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4
=（2k-1）+2（4k+1）+4=2k-1+8k+2+4=10k+5
即10k+5=2k-3，
∴k=-1．