Question

已知：如图（1）所示，D是∠ABC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过点D作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．
（1）请你确定EF、BE、CF三者之间的关系，并加以证明．
（2）如图（2）所示，当点D为∠ABC的外角的角平分线和∠ACB的外角的角平分线的交点时，EF、BE、CF三条线段还满足上面的关系吗？若满足，直接写出关系式；若不满足，请写出新的关系式并加以证明．

（3）如图（3）所示，当点D为∠ABC的角平分线和∠ACB外角平分线的交点时，EF、BE、CF三条线段还满足上面的关系吗？若满足，直接写出关系式；若不满足，请写出新的关系式并加以证明．

Answer

根据题意，①利用角平分线特点及平行线的性质，证明题目结论；②利用外角平分线特点及平行线的性质，证明题目结论；③综合角平分线和外角平分线及平行线的性质，证明题目结论．
证明：（1）∵EF∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵D是∠ABC的角平分线上的点，
即：∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
即：△BED为等腰三角形
∴EB=ED，
同理DF=FC，
∴EF=BE+CF；
证明：（2）∵EF∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴BE=DE
同理：CF=DF，
又∵EF=DE+DF，
∴EF=BE+CF；
证明：（3）不满足，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴BE=DE
同理：CF=DF，
∴EF=BE-CF
故不满足．