Question

如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD=BC；③PB=PF；④AD²=4AB•DC．其中正确的是（ ）

A．①②③④
B．只有①②
C．只有①②④
D．只有③④

Answer

根据直径所对的圆周角是直角，以及切线长定理，相似三角形的性质即可作出判断．
【解析】
∵BA，BE是圆的切线．
∴AB=BE，BO是△ABE顶角的平分线．
∴OB⊥AE
∵AD是圆的直径．
∴DE⊥AE
∴DE∥OF
故①正确；
∵CD=CE，AB=BE
∴AB+CD=BC
故②正确；
∵OD=OF
∴∠ODF=∠OFD=∠BFP
若PB=PF，则有∠PBF=∠BFP=∠ODF
而△ADP与△ABO不一定相似，故PB=PF不一定成了．
故③不正确；
连接OC．可以证明△OAB∽△CDO
∴
即：OA•OD=AB•CD
∴AD2=4AB•DC
故④正确．
故正确的是：①②④．
故选C．