Question

已知m、n是关于x的一元二次方程x²+2ax+a²+4a-2=0的两实根，那么m²+n²的最小值是    ．

Answer

利用根与系数的关系可知：m+n=-2a，mn=a2+4a-2，则m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2（a2+4a-2）=2a2-8a+4=2（a-2）2-4，此题还需考虑有实数根时a的取值范围，所以利用根的判别式求出a的取值范围，再利用二次函数的性质综合考虑求最小值则可．
【解析】
∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，
∴
又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4，
根据二次函数的性质，a＜2时，函数值随a的增大而减小，
∴当时，m2+n2的值最小，
此时，即最小值为．