Question

两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．
（1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图2），∠DCE=______°，点C到直线l的距离等于______

Answer

（1）过C作CM⊥DE于M，由CD=FE=DE=2，得到△CDE为等边三角形，则∠DCE=60°，CM=DE=，得到∠1=180°-∠ADC-∠CDE=180°-90°-60°=30°，得到α=30°；
（2）由四边形MFNC为正方形，而矩形ABCD绕点D顺时针旋转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．得到NF=NC，∠FNC=90°，则∠DNE=90°，ND=NE，得到∠NDE=∠NED=45°，所以∠1=180°-90°-45°=45°，即α=45°．
【解析】
（1）过C作CM⊥DE于M，如图2，
∵CD=FE=DE=2，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DCE=60°，
∴CM=DE=，
∵∠1=180°-∠ADC-∠CDE=180°-90°-60°=30°，
而∠1等于旋转角，
∴α=30°；

（2）如图3，
∵四边形MFNC为正方形，
而矩形ABCD绕点D顺时针旋转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．
∴NF=NC，∠FNC=90°，
∴∠DNE=90°，ND=NE，
∴∠NDE=∠NED=45°，
∴∠1=180°-90°-45°=45°，
∴α=45°．
故答案为：60，，30；45．