Question

请阅读下面材料：
若A（x₁，y），B（x₂，y） 是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线为此抛物线的对称轴．
有一种方法证明如下：
①②
证明：∵A（x₁，y），B（x₂，y） 是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的两点
∴且 x₁≠x₂．
①-②得 a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=0．
∴（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0．
∴
又∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为，
∴直线为此抛物线的对称轴．
（1）反之，如果M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） 是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取x₁，x₂时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数y=x²+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．

Answer

（1）由题意得出且x1≠x2，再由直线的对称轴得出结论：自变量取x1，x2时函数值相等．
（2）由题意求得b，得出二次函数的解析式为y=x2-2011x-1．再由（1）得，当x=2012时的函数值为2011．
【解析】
（1）结论：自变量取x1，x2时函数值相等．
证明：∵M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y=ax2+bx+c上不同的两点，
由题意得且x1≠x2
①-②，得y1-y2=a（x12-x22）+b（x1-x2）=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．
∵直线是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，
∴．
∴．
∴y1-y2=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0，即y1=y2；

（2）∵二次函数y=x2+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，
∴由阅读材料可知二次函数y=x2+bx-1的对称轴为直线．
∴，b=-2011．
∴二次函数的解析式为y=x2-2011x-1．
∵，
由（1）知，当x=2012的函数值与x=-1时的函数值相等．
∵当x=-1时的函数值为（-1）2-2011×（-1）-1=2011，
∴当x=2012时的函数值为2011．