Question

已知抛物线y=ax²-（a+c）x+c（其中a≠c且a≠0）．
（1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）
（2）若经过此抛物线顶点A的直线y=-x+k与此抛物线的另一个交点为B（，-c），求此抛物线的解析式；
（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线y=-x+k与 y轴的交点为C，若tan∠POB=tan∠POC，求点P的坐标；
（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜n+1（n为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N，则N关于n的函数关系式为______．

Answer

（1）利用二次函数与x轴相交y=0，即可解决．
（2）首先表示出二次函数的顶点坐标，利用待定系数法求出．
（3）作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，利用三角函数关系解决．
（4）借助自变量的取值范围，代入二次函数解析式，即可解决．
【解析】
（1）抛物线y=ax2-（a+c）x+c与x轴交点的横坐标是关于x的方程ax2-（a+c）x+c=0（其中a≠0，a≠c）的解．
解得x1=1，．
∴抛物线与x轴交点的坐标为（1，0），

（2）抛物线y=ax2-（a+c）x+c的顶点A的坐标为．
∵经过此抛物线顶点A的直线y=-x+k与此抛物线的另一个交点为，
∴
由③得c=0．
将其代入①、②得
解得a=-2．
∴所求抛物线的解析式为y=-2x2+2x．

（3）作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F．（如图）
抛物线y=-2x2+2x的顶点A的坐标，
点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，1）．
设点P的坐标为（m，n）．
∵点P在x轴上方的抛物线y=-2x2+2x上，
∴n=-2m2+2m，且0＜m＜1，．
∴，．
∵，
∴m2=4n2．
解得m=2n，或m=-2n（舍去）．
将m=2n代入n=-2m2+2m，得8n2-3n=0．
解得，n2=0（舍去）．
∴．
∴点P的坐标为．

（4）N关于n的函数关系式为N=4n．
说明：二次函数y=-2x2+2x的自变量x在n≤x＜n+1（n为正整数）的范围内取值，此时y随x的增大而减小，
∴-2n2-2n＜y≤-2n2+2n，
其中的整数有-2n2-2n+1，-2n2-2n+2，-2n2+2n．N=（-2n2+2n）-（-2n2-2n）=4n．