Question

如图所示，以△ABC的三边为边，分别作三个等边三角形．
（1）求证四边形ADEF是平行四边形；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形是矩形？
（3）这样的平行四边形ADEF是否总是存在？

Answer

（1）易证△DBE≌△ABC，即可证得DE=AC=AF，同理可证得DA=EF那么四边形ADEF是平行四边形．
（2）由于平行四边形的邻边等于△ABC的AB或AC，所以应让AB=AC．
（3）平行四边形要想成立，相邻的三点应构成三角形，看是否存在在一条直线上的情况．
（1）证明：∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ABD=∠EBC=∠BCE=∠ACF=60°，
BC=BE=CE，AC=AF=FC．
∵∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABD-∠ABE=∠EBC-∠ABE．
∴∠DBE=∠ABC，
∴△DBE≌△ABC，
∴DE=AC．
∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得，△EFC≌△BAC，
得EF=AB，
∴EF=AD，
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）【解析】
当AB=AC时，四边形ADEF是菱形．理由如下：
∵AB=AD，AF=AC，
又AB=AC，
∴AD=AF．
又∵四边形ADEF为平行四边形，
∴平行四边形ADEF是菱形．
当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．
理由如下：
∵∠BAD=∠CAF=60°，∠BAC=150°，∠BAD+∠CAF+∠BAC+∠DAF=360°，
∠DAF=90度．
又∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形平行四边形ADEF是矩形．

（3）【解析】
当∠BAC=60°时，不存在这样的平行四边形ADEF．理由如下：
∵当∠BAC=60°时，
有∠DAF=60°+60°+60°=180°，
即D，A，F三点在同一直线上时，不存在这样的平行四边形ADEF．