Question

已知△ABC，分别以BC、AC为边向形外作正方形BDEC，正方形ACFG，过C点的直线MN垂直于AB于N，交EF于M，
（1）当∠ACB=90°时，试证明：①EF=AB；②M为EF的中点；

（2）当∠ACB为锐角或钝角时，①EF与AB的数量关系为______（分情况说明）；
②M还是EF的中点吗？请说明理由．（选择当∠ACB为锐角或钝角时的一种情况来说明）

Answer

（1）①由正方形的性质得CA=CF，CB=CE，∠ACB=∠FCE，由SAS可得△ECF≌△BCA，故有EF=AB；
②由∠BCN=∠MCF=∠CAN=∠MFC得MC=MF，同理得ME=MC，即得M为EF的中点．
（2）①由图示可得，EF与AB不相等，当∠ACB为锐角时，EF＞AB，当∠ACB为钝角时，EF＜AB．
②要证M为EF的中点，可通过作辅助线构造一个平行四边形，转而证明点M是平行四边形对角线的中点．
【解析】
（1）①由题意得：CA=CF，CB=CE，∠ACB=∠FCE，
∴△ECF≌△BCA，∴EF=AB；

②过点E作EH∥FC，过点F作FH∥EC，交于点H，连接MH，
∵∠CAN+∠CBN=90°，∠BCN+CBN=90°，
∴∠CAN=∠CBN，
又∵∠CBN=∠MCF，
∴∠MCF=∠CAN，
由①知△ECF≌△BCA，
∴∠CAN=∠MFC，故∠MCF=∠MFC，
∴MC=MF，同理得ME=MC，即得M为EF的中点．

（2）①当∠ACB为锐角时，EF＞AB，当∠ACB为钝角时，EF＜AB．
②过F作FH∥CE交MN于H，
∵∠HCF+∠ACN=90°，∠CAN+∠ACN=90°∴∠HCF=∠CAN，
∵∠HFC+∠FCE=180°，∠ACB+∠FCE=180°，∴∠HFC=∠ACB，
又∵FC=CA，∴△HCF≌△BCA，
∴BC=HF=EC，
∴FH∥CE，且HF=EC，
∴四边形CEHF是平行四边形，
∴M为EF的中点．