Question

已知抛物线：将抛物线y₁向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y₂，
（1）求抛物线y₂的解析式．
（2）如图，抛物线y₂的顶点为P，x轴上有一动点M，在y₁、y₂这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直接利用二次函数平移的规律解答即可；
（2）假设符合条件的N点存在，利用平行四边形的性质和三角形全等，找出点N到x轴的距离，即抛物线的纵坐标，代入解析式，解方程解决问题．
【解析】
（1）依题意把抛物线：=-（x-2）2+2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y2=-，
整理得y2=；

（2）符合条件的N点存在．
如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP=MN，
∴∠POA=∠BMN，作PA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B
∴∠PAO=∠MBN=90°，
∴△POA≌△NMB（AAS），
∴PA=BN，
∵点P的坐标为（4，3），
∴NB=PA=3，
∵点N在抛物线y1、y2上，且P点为y1、y2的最高点
∴符合条件的N点只能在x轴下方，
①点N在抛物线y1上，则有：
解得：
②点N在抛物线y2上，则有：
解得：或
∴符合条件的N点有四个：．