Question

已知：抛物线y=x²+（1-2a）x+a²（ a≠0 ）与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁≠x₂．
（1）求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；
（2）若抛物线与y轴交于点C，是否存在这样的a使得OA²+OB²=OA+OB+OC-1成立，若存在，求出a，若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据一元二次方程根的判别式求得k的取值范围；根据根与系数的关系和a的取值范围进行分析x1和x2的符号，从而证明其位置；
（2）结合（1）的结论运用方程的根表示OA和OB的长，再根据根与系数的关系求得a值，从而判定是否存在．
【解析】
（1）∵△=（1-2a）2-4a2=1-4a＞0，
∴a＜．
∵x1+x2=2a-1，x1x2=a2，
又∵，且a≠0，
∴x1+x2＜0，x1x2＞0
∴x1＜0，x2＜0，∴A、B两点都在原点O的左侧．

（2）∵x1＜0，x2＜0，
∴OA=-x1，OB=-x2．
∵C（0，a2），
∴OC=a2．
∵OA2+OB2=OA+OB+OC-1，
∴x12+x22=-x1-x2+a2-1，
∴（2a-1）2-2a2=1-2a+a2-1，
∴a2-2a+1=0，
∴a=1（不合题意，舍去），
∴不存在这样的a．