Question

在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c，且a=3，b，c是关于x的方程x²+mx+2-m=0的两个根，则三角形ABC的周长等于    ．

Answer

等腰三角形ABC中a可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论．①当a是腰时，则方程有一个根是3，代入即可求得m的值，从而求解；②当a是底边时，方程有两个相等的实根，根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系，从而求得其周长．
【解析】
∵b、c是关于x的方程x2+mx+2-m=0的两个实数根，
∴b+c=-m，bc=2-m．
分两种情况：
①当a为其腰时，则b=a，或c=a，
∴方程必有一个根为3，
代入方程得：9+3m+2-m=0，
解得m=-，
则b+c=，
则周长是a+b+c=；
②当a为其底时，b=c，原方程有两个相等的实数根，
∴△=m2-4×（2-m）=0，
∴m1=-4，m2=2＞0（舍去），
∵b+c=4＞a，bc=4＞0，
∴m=-4符合题意，
∴a+b+c=3+4=7．
∴△ABC的周长为或7．
故答案为：或7．