Question

已知：等边△ABC中，AB、cosB是关于x的方程x²-4mx-x+m²=0的两个实数根．若D、E分别是BC、AC上的点，且∠ADE=60°，设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并说明当点D运动到什么位置时，y有最小值，并求出y的最小值．

Answer

本题可先根据cosB的值求出AB的长，然后通过证△ABD和△DCE相似，得出关于AB，CD，BD，CE的比例关系式，即可得出关于y，x的函数关系式，然后根据函数的性质即可求出y的最小值．
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴cosB=cos60°=，
∴，
解得：m1=0，m2=2，
∵AB=m2≠0，
∵m=0不合题意，舍去；
∴m=2即AB=8，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠CDE=120°，
又∠ADB+∠BAD=180°-∠B=120°，
∴∠BAD=∠CDE，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
设BD=x，EA=y则DC=8-x，CE=8-y，
∴，
∴y=x2-x+8=（x-4）2+6．
∴当BD=4，即D为BC的中点时，EA有最小值6．