Question

分在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，点P在BC上，且BP：PC=2：3，动点E在边AD上，过点P作PF⊥PE分别交射线AD、射线CD于点F、G．
（1）如图，当点G在线段CD上时，设AE=x，△EPF与矩形ABCD重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当点E在移动过程中，△DGF是否可能为等腰三角形？如可能，请求出AE的长；如不可能，请说明理由．

Answer

（1）重叠的面积可由矩形减去小矩形ABHE、△EHP、△PCG求的，ABHE与△EHP的面积易求，又有△PEH∽△GPC，可得GC与x之间的关系，得出△PCG的面积，进而可求解；
（2）首先假设△DGF是等腰三角形，那么有 GD=FD，求出CG=CP=3，根据△EHP∽△PCG得出比例式，求出PH，得出H和B重合，推出A、E重合，即可求出AE=0．
【解析】
（1）过点E作EH⊥BC，
∵EP⊥PF，
∴△PEH∽△GPC，
∴=，
∵BP：PC=2：3，BC=5，
∴PB=2，PC=3，
∴GC=•3．
∴y=2×5-2x-×（2-x）×2-×3×=x+（≤x＜2）；

（2）【解析】
当点E在移动过程中，△DGF不能为等腰三角形，
理由是：∵要使△DFG是等腰三角形，∠GDF=90°，
∴DF=DG，
∴∠G=∠GFD=45°，
∵∠C=90°，
∴∠GPC=45°=∠G，
∴CP=CG=3，
由（1）知：=，
∴=，
PH=2，
即H和B重合，
∵EH⊥BC，
∴E和A重合，
即当AE=0时，AD=4，FD=1，则△EPF与BC无交点，
则不存在△DFG是等腰三角形．