Question

已知关于x的方程x²-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a=0
B．a≥0
C．a=-2
D．a＞0或a=-2

Answer

分两种情况推论：当x≤3，方程变为：x2-（a+4）x+a+3=0①，△=（a+4）2-4（a+3）=（a+2）2，x1=1，x2=a+3；当x＞3，方程变为：x2+（a-8）x+15-5a=0②，△=（a-8）2-4（15-5a）=（a+2）2，x1=5，x2=3-a；根据原方程有两个不同的实数根，再推论：当a+2=0，方程①，②都有等根，满足条件；当a+3＞3，且3-a＜3，即a＞0，方程①，②都只有一个根，也满足条件．由此得到实数a的取值范围．
【解析】
当x≤3，方程变为：x2-（a+4）x+a+3=0①，△=（a+4）2-4（a+3）=（a+2）2，x1=1，x2=a+3；
当x＞3，方程变为：x2+（a-8）x+15-5a=0②，△=（a-8）2-4（15-5a）=（a+2）2，x1=5，x2=3-a；
∵原方程有两个不同的实数根，
∴方程①，②都有等根，即a+2=0，a=-2；
或方程①，②都只有一个根，即a+3＞3，且3-a＜3，解得a＞0，
所以实数a的取值范围是a＞0或a=-2．
故选D．