Question

已知关于x的方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出方程的根；
（2）设方程的两根为x₁，x₂．是否存在正数m，使得x₁²+x₂²=224？若存在请求出满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由△=0，即得到m的方程，可求得m的值，再把m的值代入原方程，解方程即可；
（2）先假设存在正数m使得x12+x22=224，然后利用根与系数的关系x1+x2=4m-8，x1x2=4m2．于是有x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（4m-8）2-8m2=224，解方程求出m的值，同时由△＞0得m＜1，且m为正数，最后确定不存在符合条件的正数m
【解析】
（1）依题意得△=0，即，
-4m+4=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为
解得x1=x2=-2．

（2）不存在．
假设存在正数m使得x12+x22=224，
则由韦达定理得x1+x2=4m-8，x1x2=4m2，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（4m-8）2-8m2=224，
即：m2-8m-20=0，
解得m1=10，m2=-2（舍去）
∵，
∴m＜1
∴m1=10也不符合题意，应舍去．
故不存在正数m使得方程两根满足x12+x22=224．