Question

已知一次函数y=的图象与x轴交于点A．与y轴交于点B；二次函数图象与一次函数y=的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D的坐标为（1，0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由已知，一次函数y=的图象与y轴交于点B，二次函数图象与一次函数y=的图象交于B、C两点，结合图象可得出B点的坐标为：（0，1），D的坐标为（1，0），可直接求出解析式．
（2）假设存在这样的一点，当顶点不同时，分三种情况讨论．
【解析】
（1）∵由题意知：当x=0时，y=1，∴B（0，1），
由D点的坐标为（1，0）当x=1时，y=0
∴解得，
所以

（2）存在；设P（a，0），

①P为直角顶点时，如图，过C作CF⊥x轴于F，∵Rt△BOP∽Rt△PFC，
由题意得，AD=3，OD=1，易知，OB∥CF，
∴．即，
整理得：a2-4a+3=0，解得a=1或a=3，
此时所求P点坐标为（1，0）或（3，0）．
②若B为直角顶点，则有PB2+BC2=PC2
既有12+a2+42+22=32+（4-a）2
解得a=0.5此时所求P点坐标为（0.5，0）
③若C为直角顶点，则有PC2+BC2=PB2
既有32+（4-a）2+42+22=12+a2
解得a=5.5此时所求P点坐标为（5.5，0）

综上所述，满足条件的点P有四个，分别是（1，0）（3，0）（0.5，0）（5.5，0）．