Question

已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中点O．
（1）若点G为线段AB上一点，且FG=4，CD=3，GC=7，过O点作OH⊥GC于H，试证：OH=OF；
（2）求证：AB+CD=2BE．

Answer

（1）连接OG．根据AAS可以证明△ODC≌△OFA，得AF=CD=3，则AG=7=CG．根据等腰三角形的三线合一，得OG为∠AGC的角平分线，根据角平分线的性质即可证明；
（2）过D作DM∥AC交BA的延长线于M，则四边形CDMA为平行四边形，得DM=AC，CD=AM，从而得到DMB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可以证明AM+AB=2BF；再结合全等三角形的性质即可证明．
证明：（1）连接OG．
∵O为DF中点，
∴DO=OF，
又∵AB∥CD且DF⊥AB，
∴∠ODC=∠OFA．
∴在△ODC和△OFA中，
∴△ODC≌△OFA．
∴CD=AF=3．
又∵FG=4，
∴AG=AF+FG=7=CG．
即：AG=CG．
又∵△ODC≌△OFA，
∴OA=OC．
∵AG=CG，
∴OG为∠AGC的角平分线．
∵OF⊥AG，OH⊥CG，
∴OF=OH．

（2）过D作DM∥AC交BA的延长线于M．
∵梯形ABCD中，AD=BC，
∴BD=AC．
又∵CD∥AM，DM∥AC，
∴四边形CDMA为平行四边形．
∴DM=AC，CD=AM．
∵MD∥AC，
又∵AC⊥BD，且AC=BD，
∴DM⊥BD，DM=BD，
∴△DMB为等腰直角三角形．
又∵DF⊥BM，
∴DF=BF．
∴BM=2DF=2BF
∴AM+AB=2BF．
∵CD=AM，
∴AB+CD=2BF．
∵AC=BD=AB，
∴在△BEA和△BFD中，△BEA≌△BFD．
∴BE=BF．
∵AB+CD=2BF，
∴AB+CD=2BE．