Question

在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，tanA、tanB是关于x的一元二次方程x²-kx+12k²-37k+26=0的两个实数根．
（1）求k的值；
（2）若c=10，且a＞b，求a、b．

Answer

（1）因为三角形为直角三角形，并且tanA、tanB是关于x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可求解；（2）已知一条边c=10，且a＞b，根据互余两角三角函数的关系即可求解．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，∴tanA•tanB=1．
∴tanA•tanB=12k2-37k+26=1，
即12k2-37k+25=0，可得：k1=，k2=1．
又当k=1时，原方程为x2-x+1=0，其判别式△＜0，舍去．
∴k=．
（2）当k=时，原方程为：．
又tanA+tanB=，∴==，
∴a2+b2=c2=100．∴ab=48      ①
而a2+b2=（a+b）2-2ab=100，且a+b＞0．
∴a+b=14．②
由①②得：或者，
又a＞b，
则a=8，b=6．