Question

已知，抛物线y=ax²+bx-3a经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D与C关于抛物线的对称轴对称，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接DB，问在抛物线上是否存在一点M，使∠DBM=45°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得该抛物线的解析式；
（2）根据（1）题所得抛物线的解析式，可确定抛物线的对称轴方程以及B、C的坐标，进而可求得D点坐标以及CD的长；由于CD∥AB，可求得∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°（由于OB=OC=3），因此CB是∠OCD的角平分线，那么点D关于直线BC的对称点必在y轴上，过D作DD′⊥BC交y轴于D′，根据角平分线的性质可得CD′=CD，由此可求出点D′的坐标；
（3）在（2）中已经证得∠OBC=45°，若∠DBM=45°，那么∠OBM=DBC，过D作DE⊥BC于E，设直线BM交y轴于P，根据上面得到的等角，易证得△BOP∽△BED，由于△CDE是等腰Rt△，且已知CD的长，易求得CE、BE、DE的值，根据相似三角形所得比例线段，即可求得OP的值，也就得到了点P的坐标，利用待定系数法可求得直线BP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点M的坐标．
【解析】
（1）由题意得：将A（-1，0），C（0，-3）代入y=ax2+bx-3a得：
，
解得
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的另一个交点是B（3，0），
则点C关于抛物线对称轴的对称点D（2，-3），
∴CD=2，且CD∥AB
∵OC=OB=3，且∠COB=90°，
∴∠OCB=∠BCD=45°
过点D作DD′⊥BC交y轴于点D′，则CD′=CD=2；
∴点D′（0，-1）
即点D关于直线BC对称点的坐标为D′（0，-1）；

（3）假设存在这样的点M，使∠DBM=45°，设BM交y轴于点P；
∵∠OBC=∠DBM=45°，
∴∠OBP=∠CBD；
过点D作DE⊥BC，
∵∠BCD=45°，CD=2，∴CE=DE=，
∴BE=BC-CE=2；
又∵∠BED=∠BOP=90°，
∴△BOP∽△BED，
∴，
∴OP=1.5，即P（0，-1.5）；
∴直线BP的解析式为：y=x-；
∴抛物线与直线BP的交点M，
解得或（不合题意，舍去）
∴存在这样的点M，即M（-，-）．