Question

已知直线y=-2x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为y=x²-（b+10）x+c．
（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y=-2x+b上，试确定这条抛物线的解析式；
（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y=-2x+b的解析式．

Answer

（1）先表示出B、P的坐标，然后将B代入抛物线的解析式中，将P代入直线的解析式中，联立两式可求出b、c的值，即可确定抛物线的解析式；
（2）可根据直线AB的解析式表示出A、B的坐标，即可求出OA、OB的长，由于∠ABC=90°，在直角三角形ABC中，可用射影定理求出OC的长，然后联立抛物线的对称轴方程即可求出b的值．也就求出了直线AB的解析式．
【解析】
（1）直线y=-2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A坐标为（，0），点B坐标（0，b），
由题意知，抛物线顶点P坐标为（），
∵抛物线顶点P在直线y=-2x+b上，且过点B，
解得b1=-10，c1=-10，b2=-6，c2=-6，
∴抛物线解析式为y=x2-10或y=x2-4x-6；

（2）∵点A坐标（，0），点B坐标（0，b），
∴OA=||，OB=|b|，
又∵OA⊥OB，AB⊥BC，
∴△OAB∽△OBC
∴=
∴OB2=OA•OC，
即b2=OC•||，
∴OC=
∵抛物线y=x2-（b+10）x+c的对称轴为x=且抛物线对称轴过点C，
∴||=．
（i）当b≤-10时，-=-2b，
∴b=（舍去）
经检验，b=不合题意，舍去．
（ii）当-10≤b＜0时，=-2b，
∴b=-2，
（iii）当b＞0时，=2b，
∴b=，
此时抛物线对称轴直线为x=-=＞0，
BC与x轴的交点在x轴负半轴，
故不符合题意，舍去．
∴直线的解析式为y=-2x-2．