Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．

Answer

（1）易证∠DEC=∠DFA，即可得CE∥AF，根据CE=AF可得四边形ACEF为平行四边形；
（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE，又∵CE=AB，∴使得AB=2AC即可，根据AB、AC即可求得∠B的值．
【解析】
（1）∵DE为BC的垂直平分线，
∴∠EDB=90°，BD=DC，
又∵∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
∴E为AB的中点，
∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，
∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，
∠DEC=∠DFA，
∴AF∥CE，
又∵AF=CE，
∴四边形ACEF为平行四边形；

（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，
∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，
又∵∠BED=∠DEC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC，又EB=EC，
∴AE=EC=EB，
∵CE=AB，
∴AC=AB即可，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴当∠B=30°时，AB=2AC，
故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形．