Question

已知，如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别C、D，
求证：OP是CD的垂直平分线．

Answer

证明O、P在线段CD的垂直平分线上即可．根据角平分线性质知PC=PD，所以P在CD的垂直平分线上；易证明Rt△POC≌Rt△POD，得OC=OD，所以O在CD的垂直平分线上．
证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别C、D，
∴PC=PD，∠PCO=∠PDO=90°，
∴P在CD的垂直平分线上；
∵在Rt△POC和Rt△POD中，
，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC=OD，
∴点O在CD的垂直平分线上．
∴OP是CD的垂直平分线．