Question

已知关于x的一元二次方程x²+2x+3k=0有实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）设x₁，x₂为方程的两实数根，求y=x₁•x₂+5的最大值．

Answer

（1）根据一元二次方程有实数根的条件，得到根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，从而求出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系，先表示出x1•x2，再代入y，得到用含k的代数式表示y的形式，然后根据一次函数的性质求解．
【解析】
（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+3k=0有实数根，
∴△=b2-4ac=4-12k≥0，
解之得k≤；
（2）∵x1，x2为方程的两实数根，
∴x1•x2=3k，
∴y=3k+5，
∴y随k的增大而增大．
又∵k≤，
∴当k取最大值时，y有最大值，
此时y=3×+5=6．