Question

如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数与x轴另一交于点为C，连接BA、BC，求△ABC的面积；
（3）设该二次函数的顶点为D，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于E．求证：四边形ODEB是平行四边形．

Answer

（1）题利用待定系数法求出解析式，
（2）以AC为三角形的底，OB为三角形的高，求出三角形的底与高就可以求出，三角形面积．
（3）证明四边形为平行四边形，可利用一组对边平行且相等证明．
【解析】
（1）将A（2，0）、B（0，-6）两点代入则

解得
∴解析式为y=-x2+4x-6

（2）令-x2+4x-6=0
∴x2-8x+12=0
解得：x1=2    x2=6
∴另一个交点C（6，0）
∴AC=4
∴S△ABC=×4×6=12

（3）∵y=x2+4x-6=-（x-4）2+2
设对称轴与x轴交于点N，则DN=2，
∵△OBC为等腰直角三角形
∴OE⊥BC
∵OB=6，CM=NM=2，
∴CO=6，
∴NO=6-2=4，
∵∠COE=45°，∠ONE=90°，
∴ON=NE=4，
∴OB=DE=6，∵OB∥DE
∴四边形ODEB是平行四边形