Question

已知：关于x的方程mx²-（4m+3）x+3m+3=0．
（1）求证：无论m取何值方程必有实数根；
（2）设m＞0方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．若y是关于m的函数，且y=x₂-3x₁，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤m+2．

Answer

（1）要证明无论m取何值方程必有实数根，分两种情况讨论：当m=0，原方程有解；当m≠0，只要证明△≥0即可，而△=（4m+3）2-4m（3m+3）=（2m+3）2，由（2m+3）2≥0，可得到△≥0；
（2）利用求根公式可得x==，因为m＞0，x1＜x2．所以x2=，x1=1，然后代入y=x2-3x1，即可得到函数的解析式即可；
（3）先求出y=和y=m+2的交点坐标，再根据图象回答自变量m的取值范围．
【解析】
（1）当m=0，原方程变为：-3x+3=0，此方程有根为x=1；
当m≠0，△=（4m+3）2-4m（3m+3）=（2m+3）2，
由（2m+3）2≥0
∴△≥0，即方程有两个实数根
所以无论m取何值方程必有实数根；

（2）∵x==，而m＞0，x1＜x2，
∴x2=，x1=1，
∴y=x2-3x1=-3=（m＞0）；

（3）y=（m＞0）和y=m+2的交点坐标为（1，3），
如图，当m≥1，y≤m+2．