Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，E、F分别是AC、BD的中点，求证：EF=（BC-AD）．

Answer

此题中连接AE并延长，交BC于点G或CE、DA延长线相交于G均可．根据全等三角形的判定和性质易证明EF是构造的三角形的中位线，根据三角形的中位线定理就可证明．
证明：方法一：
如图所示，连接AE并延长，交BC于点G．
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠GBE，∠EAD=∠EGB，
又∵E为BD中点，
∴△AED≌△GEB．
∴BG=AD，AE=EG．
在△AGC中，EF为中位线，
∴EF=GC=（BC-BG）=（BC-AD），
即EF=（BC-AD）．

方法二：如图所示，设CE、DA延长线相交于G．
∵E为BD中点，AD∥BC，易得△GED≌△CEB．
∴GD=CB，GE=CE．
在△CAG中，∵E，F分别为CG，CA中点，
∴EF=GA=（GD-AD）=（BC-AD），即EF=（BC-AD）．