Question

如图所示，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E，过D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接DE，若AB=AC=13，BC=10，求△CDE的面积．

Answer

（1）连接OD，AD，根据直径所对的圆周角是直角以及AB=AC，得到DB=DC，OD是△ABC的中位线，所以OD∥AC，再由DF⊥AC得到DF⊥OD，可以证明DF是⊙O的切线．
（2）利用两角对应相等，可以证明△CDE∽△CAB，然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方可以求出△CDE的面积．
【解析】
（1）连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线．

（2）∵ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠DEC=∠B，又∠C为公共角，
∴△CDE∽△CAB，
∵AB=13，BC=10，由（1）得AD⊥BC，
∴CD=5，
∴AD=12．
S△ABC=BC•AD=×10×12=60．
∵△CDE∽△CAB，
∴==．
∴S△CDE：S△CAB=25：169．
∴S△CDE=60×=．