Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°且BC=8，梯形ABCD绕点A顺时针旋转a度后得到梯形AEFG，a为锐角．
（1）如图一，旋转过程中，若线段AB与线段EF始终有交点，求a的范围；
（2）如图二，若B点落在线段EF上，小刚同学用三角板量得F、G和D三点在同一条直线上，由此，他得到四边形ABFG是平行四边形，你能证明吗？请写出理由；
（3）小刚最后又发现中的平行四边形ABFG是菱形，请求出梯形ABCD的面积．

Answer

（1）由梯形ABCD绕点A顺时针旋转a度后得到梯形AEFG，a为锐角，旋转过程中，当线段AB与线段EF的交点与B点重合，即B点落在线段EF上之前，此时AB=AE，∠E=∠ABC=60°，得到△AEB为等边三角形，即可得到a的范围为0°＜α≤60°．
（2）连DG，由B点落在线段EF上，F、G和D三点在同一条直线上，而△ABE为等边三角形，得到∠EAB=60°，则∠BAG=120°-60°=60°，得到△AGD为等边三角形，易证得∠1=∠2=∠ABC，得到GF∥AB，而AG∥BF，所以四边形ABFG是平行四边形；
（3）过A作AM⊥EF于M点，由平行四边形ABFG是菱形，得到AG=AB=BF=BE，而BC=8，得到AG=4，EF=8，AM=AB=2，所以
梯形ABCD的面积=梯形AEFG的面积=×（4+8）×2=12．
【解析】
（1）梯形ABCD绕点A顺时针旋转a度后得到梯形AEFG，a为锐角，旋转过程中，当线段AB与线段EF的交点与B点重合，即B点落在线段EF上之前，此时AB=AE，∠E=∠ABC=60°，
∴△AEB为等边三角形，
∴∠EAB=60°，
∴线段AB与线段EF始终有交点，a的范围为0°＜α≤60°；

（2）四边形ABFG是平行四边形．理由如下：
连DG，如图，
∵B点落在线段EF上，F、G和D三点在同一条直线上，
而△ABE为等边三角形，
∴∠EAB=60°，
∴∠BAG=120°-60°=60°，
而AG=AD，
∴△AGD为等边三角形，
∴∠1=60°，
∴∠2=∠1=60°，
∴∠2=∠ABC=60°，
∴GF∥AB，
而AG∥BF，
∴四边形ABFG是平行四边形；

（3）过A作AM⊥EF于M点，
∵平行四边形ABFG是菱形，
∴AG=AB=BF=BE，
而BC=8，
∴AG=4，EF=8，AM=AB•sin60°=AB=2，
∴梯形ABCD的面积=梯形AEFG的面积=×（4+8）×2=12．