Question

如图，正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H．
（1）求证：AH=EH；
（2）若正方形ABCD的边长为3，求DH的长．

Answer

（1）连CH，由正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，根据旋转的性质得到CF=CD，∠DCG=30°，易证得Rt△CFH≌Rt△CDH，则HF=HD，即可得到结论；
（2）由（1）得Rt△CFH≌Rt△CDH，有∠FCH=∠DCH，而∠DCG=30°，得∠DCF=90°-30°=60°，所以∠DCH=30°，而CD=3，利用含30度的直角三角形三边的关系即可求出DH的长．
（1）证明：连CH，如图，
∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，
∴CF=CD，∠DCG=30°，
而CH公共，
∴Rt△CFH≌Rt△CDH，
∴HF=HD，
∴AH=HE；

（2）【解析】
由（1）得Rt△CFH≌Rt△CDH，
∴∠FCH=∠DCH，
而∠DCG=30°，
∴∠DCF=90°-30°=60°，
∴∠DCH=30°，
而正方形ABCD的边长为3，即CD=3，
∴DH=DC=．