Question

如图，已知AE为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D交⊙O于F．
（1）求证：∠BAE=∠CAF；
（2）若∠ACB=60°，CF=2，求⊙O的半径．

Answer

（1）连接BE，由于BE是直径，那么所对的圆周角等于90°，则∠BAE=90°-∠AEB，AD⊥BC，则∠ADC=90°，则有∠CAF=90°-∠ACB，又∠BEA=∠ACB，那么利用等角的余角相等，可得∠BAE=∠CAF；
（2）由∠ACB=60°，AD⊥BC，可求∠CAF=30°，再结合（1）中的结论，可知∠BAE=30°，而CF=2，那么利用同圆中相等的圆周角所对的弦相等，可知BE=CF=2，在Rt△ABE中，利用三角函数值可求AE，即可求⊙O半径．
【解析】
（1）证明：连接BE，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAF+∠ACB=90°，
又∵∠AEB=∠ACB，
∴∠BAE=∠CAF；

（2）∵∠BAE=∠CAF，CF=2，
∴BE=2，
又∵∠ACB=60°，AD⊥BC，
∴∠CAF=30°，
∴∠BAE=30°，
∴AE=2BE=4，
∴⊙O半径=2．