Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE=BE，则下列关系：①a+c=0；②b=0；③ac=-1；④S_△ABE=c²．其中正确的有（ ）

A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

Answer

抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，可得对称轴为y轴，b=0，方程ax2+bx+c=0的两根为c与-c，即可得出答案；
【解析】
∵抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，
∴对称轴为y轴，
∴b=0，y=ax2+c，
令x=1，得到y=a+c，
而x=1对应的函数值不一定为0，故a+c不一定为0；
∵OA=OB=OE，
∴方程ax2+bx+c=0的两根为c与-c，
∴ac2+c=0，∵c≠0，
∴c（ac+1）=0，
∴ac=-1，
S△ABE=×|2c|×|c|=c2，
故正确的有三个，
故选B．