Question

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM⊥MN，设MB=x
（1）证明：△ABM∽△MCN；
（2）若四边形ABCN的面积等于9，求x的值；
（3）当M点运动到什么位置时，以A、B、M为顶点的三角形和以A、M、N为顶点的三角形相似．

Answer

（1）由于AM⊥MN，那么∠AMB+∠NMC=90°，而四边形ABCD是正方形，于是∠B=∠C=90°，从而有∠BAM+∠AMB=90°，利用同角的余角相等可得∠NMC=∠MAB，进而可证△ABM∽△MCN；
（2）由于△ABM∽△MCN，那么AB：BM=CM：CN，可求CN，结合四边形ABCN的面积等于9，可得关于x的方程，解即可；
（3）根据题意可得△ABM∽△AMN，于是AB：BM=AM：MN，把AB、BM、AM、MN的值代入，可得关于x的方程，解即可．
（1）证明：如右图所示，
∵AM⊥MN，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠NMC=∠MAB，
∴△ABM∽△MCN；

【解析】
（2）∵△ABM∽△MCN，
∴AB：BM=CM：CN，
∴CN=，
∴S四边形ABCN=×（4+）×4=9，
解得x1=2+，x2=2-，
故x=2+或x=2-；

（3）∵△ABM∽△AMN，
∴AB：BM=AM：MN，又MB=x，
AM=，
MN==
：=，
∴4：x=：，
4=x，
16[（4-x）2+]=x2（16+x2），
（4-x）2（16+x2）=x2（16+x2），
16-8x=0，
解得x=2．