Question

如图所示，某同学在探究二次函数图象时，作直线y=m平行于x轴，交二次函数y=x²的图象于A、B两点，作AC、BD分别垂直于x轴，发现四边形ABCD是正方形．
（1）求m的值及A、B两点的坐标；
（2）如图所示，将抛物线“y=x²”改为“y=x²-2x+2”，直线CD经过抛物线的顶点P与x轴平行，其它关系不变，求m的值及A、B两点的坐标．
（3）如图所示，将图中的改为“y=ax²+bx+c（a＞0），其它关系不变，请直接写出m的值及A、B两点的坐标（用含有a、b、c的代数式表示）
[提示：抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴为]．

Answer

（1）利用正方形的性质和二次函数的对称性解答第一问；
（2）用配方法求出y=x2-2x+2的顶点坐标，用m表示A、B两点的坐标．把其中一点代入函数解析式，求出m的值，问题得解；
（3）先由抛物线y=ax2，求得，A（，），B（-，），再由抛物线y=ax2+bx+c顶点坐标（，）平移整理即得．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，由抛物线y=x2的对称性可知，OD=AD
∴设点A坐标为（，m），
代入y=x2，
得
解得m1=0（舍去），m2=4，
∴m的值是4，点A的坐标为（2，4），
由抛物线的对称性，可得B点坐标为（-2，4）；

（2）如图，
∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴抛物线的顶点P坐标为（1，1），
由题意，点A的纵坐标为m，
∴AD=m-1，
设直线CD与y轴交点为Q，
则DQ==，
∴点A的坐标为（，m），
代入y=x2-2x+2中，
整理得m2-6m+5=0，
解得m1=1（舍去），m2=5，
∴m的值为5，点A的坐标为（3，5）
∴由抛物线的对称性，可求得点B的坐标为（-1，5）；

（3），
A（，），
B（，），
由抛物线y=ax2，求得，
A、B两点坐标为A（，），B（-，），
把A、B两点先右移（）个单位，再上移（）个单位，
整理得A（，），B（，）．