Question

已知．如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E．
（1）求证：BE•BF=BD•BC；
（2）试比较线段BD与AE的大小，并说明道理．

Answer

（1）连接FC，根据有两组角相等的两个三角形相似得到△BDE∽△BFC，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论．
（2）连接AC，AB，根据圆周角定理及余角的性质可得到BE=AE，由已知可知BE＞BD，从而就得到AE＞BD．
（1）证明：连接FC，∵BC为半圆O的直径
则BF⊥FC
∵∠BFC=∠BDE=90°，∠FBC=∠EBD
∴△BDE∽△BFC
∴BE：BC=BD：BF
∴BE•BF=BD•BC

（2）【解析】
AE＞BD．理由如下：
连接AC，AB，则∠BAC=90°
∵A是的中点
∴∠ABF=∠ACB
∵∠ACB+∠ABC=90°，∠BAD+∠ABC=90°
∴∠ACB=∠BAD
∴∠BAD=∠ABF
∴BE=AE
∵BE＞BD
∴AE＞BD