Question

如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．
（1）求证：AB为⊙C直径；
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．

Answer

（1）根据圆周角定理直接解答即可．
（2）根据圆内接四边形对角互补求出∠OAB的度数，再根据直角三角形的性质即可求出AB的长，即C点坐标．
【解析】
（1）∵⊙C经过坐标原点，
∴∠AOB=90°，
∴AB是⊙C的直径．

（2）∵四边形AOMB是圆内接四边形，∠BMO=120°，
根据圆内接四边形的对角互补得到∠OAB=60°，
∴∠ABO=30°，
∵点A的坐标为（0，4），∴OA=4，
∴AB=2OA=8，
⊙C的半径AC==4；
∵C在第二象限，
∴C点横坐标小于0，
设C点坐标为（x，y），
由半径AC=OC=4，即=，
则==4，
解得，y=2，x=-2或x=2（舍去），
故⊙C的半径及圆心C的坐标分别为：4，（-2，2）．