Question

如图，D是△ABC的边AB上一点，在条件（1）∠ACD=∠B，（2）AC²=AD•AB，（3）AB边上与点C距离相等的点D有两个，（4）∠B=∠ACB中，一定使△ABC∽△ACD的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

要使△ABC∽△ACD，由于两三角形有一对角相等∠CAD=∠BAC，根据相似三角形的判定，看缺什么条件就补充什么条件就可以了，分情况讨论①∠ACD=∠B，②∠ADC=∠ACB，③=，①、②、③分别联合已知条件∠CAD=∠BAC，可证△ABC∽△ACD，其余的说明其错误原因即可．
【解析】
（1）若∠ACD=∠B，
∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，
∴△ABC∽△ACD．

（2）若=，
∵AC2=AD•AB，
∴=，
又∵∠CAD=∠BAC，
∴△ABC∽△ACD．

（3）若AB边上与点C距离相等的点D有两个，如果CD长不确定，那么符合条件的点有很多，不固定，那么△ACD的形状也无法确定，也就无法证明△ACD∽△ABC；

（4）∠B=∠ACB，说明△ABC是等腰三角形，而△ACD不一定是等腰三角形，故两三角形不相似；若△ACD是等腰三角形，则必有AD=AC，也就有AD=AB，则B、D重合，不合题意．
故选B．