Question

操作：如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角板的直角顶点与点P重合（含30度角的直角三角板），并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E．
探究：①观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似，写出你的结论，并说明理由；
②当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比和面积比分别是多少？

Answer

由于本题直角三角形的摆放方法没有确定，因此要分两种情况进行讨论：
①直角三角形的斜边与AD相交；（如图1）
②直角三角形的斜边与BC边在同一条直线上（如图2）；解题思路一致．
以①为例说明：△DEP和△BCP中，∠DEP和∠BPC同为∠DPE的余角，因此这两角相等，易证得两三角形相似．当P为CD中点时，PD=CP，可根据相似三角形得出的比例关系式求出DE和BC的表达式，进一步可求得两三角形的周长和面积比．
【解析】
分两种情况：
①如图（1），
∵∠BPE=90°，
∴∠BPC+∠DPE=90°，又∠BPC+∠PBC=90°，
∴∠PBC=∠DPE，又∠C=∠D=90°，
∴△BPC∽△PED．
如图（2），同理可证△BPC∽△BEP∽△PEC．

②如图（1），∵△BPC∽△PED，
∴△PED与△BPC的周长比等于对应边的比，即PD与BC的比，
∵点P位于CD的中点，
∴PD与BC的比为1：2，
∴△PED与△BPC的周长比1：2，
△PED与△BPC的面积比1：4．
如图（2），∵△BPC∽△BEP，
∴△BEP与△BPC的周长比等于对应边的比，即BP与BC的比，
∵点P位于CD的中点，
设BC=2k，则PC=k，BP=k，
∴BP与BC的比为：2，
△BEP与△BPC的周长比为：2，△BEP与△BPC的面积比为5：4．