Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边C=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x²-mx+2m-2=0的两根．
（1）求m的值（2）求△ABC的面积（3）求较小锐角的正弦值．

Answer

根据一元二次方程的根与系数的关系求得m的值后，再求得方程的解，进而求出△ABC的面积与较小锐角的正弦值．
【解析】
（1）∵a，b是方程x2-mx+2m-2=0的解，
∴a+b=m，ab=2m-2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2=c2，
而a2+b2=（a+b）2-2ab，∵c=5，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25，
即：m2-2（2m-2）=25，解得，m1=7，m2=-3，
∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．
∴a+b=m＞0，m=-3不合题意，舍去．
∴m=7，

（2）△ABC的面积=ab，
∵a+b=m=7，a2+b2=（a+b）2-2ab=25，解得：ab=12，
故）△ABC的面积=ab=×12=6；
另【解析】
∵m=7，a，b是方程的两个根，
∴ab==12，
∴△ABC的面积=ab=×12=6；
（3）当m=7时，原方程为x2-7x+12=0，
解得，x1=3，x2=4，
不妨设a=3，则sinA==，
∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为．