已知二次函数y=x2+ax+a-2．（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x...

已知二次函数y=x²+ax+a-2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为 manfen5.com 满分网

时，求出此二次函数的解析式；
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为 manfen5.com 满分网

？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

（1）由判别式△=b2-4ac可证明a为任一实数．（2）先求出两根之和及两根之积的值，再利用两点距离公式求解．（3）利用第2小题中两个交点的距离为来进行计算．【解析】（1）因为△=a2-4（a-2）=（a-2）2+4＞0，所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．（2）设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根，则x1+x2=-a，x1•x2=a-2，因两交点的距离是，所以．即：（x1-x2）2=13 变形为：（x1+x2）2-4x1•x2=13 即（-a）2-4（a-2）=13 整理得：（a-5）（a+1）=0 解方程得：a=5或-1 又∵a＜0 ∴a=-1 ∴此二次函数的解析式为y=x2-x-3．（3）设点P的坐标为（x，y）， ∵函数图象与x轴的两个交点间的距离等于， ∴AB= ∴S△PAB=AB•|y|= ∴= 即：|y|=3，则y=±3 当y=3时，x2-x-3=3，即（x-3）（x+2）=0 解此方程得：x=-2或3 当y=-3时，x2-x-3=-3，即x（x-1）=0 解此方程得：x=0或1（11分）综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是（-2，3），（3，3），（0，-3）或（1，-3）．

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考点分析：

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南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润=销售价-进货价）
（1）求y与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润是多少？