Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l与AB边相交于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设∠AOD=α．
（1）当α等于多少度时，四边形EDBC是等腰梯形？并求此时AD的长；
（2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

Answer

（1）要使四边形EDBC是等腰梯形，题中已有EC∥AB，求出BC=ED，∠EDB=∠B=60°即可；
（2）当α=90°时，直线l⊥AC，可得出BC∥ED，利用角相等求出四边形EDBC为平行四边形，再加上一组邻边相等，即BC=BD即可．
【解析】
（1）解法一：当∠α=30°时，四边形EDBC是等腰梯形．（1分）
当∠α=30°时，∠EDB=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，AB=4，（2分）
在等腰梯形EDBC中，过点C作DB的垂线CF，
则BF=BC=1，
∴DB=1+1+EC，（3分）
所以AB=AD+DB=AD+2+EC，又AD=EC，
所以AB=2+2AD，即4=2+2AD，所以AD=1（4分）
解法二：当∠α=30°时，四边形EDBC是等腰梯形．（1分）
∴ED=BC=2
∵CE∥AB
∴∠A=∠ECA
∵点O是AC的中点
∴OA=OC
又∵∠α=∠EOC
∴△EOC≌△DOA（2分）
∴（3分）
∵∠A=∠α=30°
∴AD=OD=1；（4分）

（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．
证明：∵∠α=∠ACB=90°，∴BC∥ED．
∵CE∥AB，∴四边形EDBC是平行四边形．（5分）
在Rt△ABC中，由（1）中解法一知：AB=4，由勾股定理得：AC=2，
∴AO=AC=，
∵∠α=∠ACB=90°
∴OD∥BC，
∵O为AC中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AD=AB=2
∴BD=4-2=2，
∴BD=BC=2，（7分）
∴平行四边形EDBC是菱形．（8分）