Question

已知，如图，以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙0，D是BC上的点，且有弧AC=弧CD，连CD、BD，在BD延长线上取一点E，使∠DCE=∠CBD．
（1）求证：CE是⊙0的切线；
（2）若CD=2，DE和CE的长度的比为，求⊙O半径．

Answer

（1）连接OC，AD，由弧AC=弧CD，得到OC⊥AD，∠ADC=∠DBC，而∠DCE=∠CBD，则∠DCE=∠ADC，从而得到CE∥AD，OC⊥CE
（2）先通过CE∥AD，得到∠E=90°，即四边形CEDF是矩形．先在Rt△CED中，设DE=x，则CE=2x，求出DE=2，CE=4；再在Rt△OAF中，利用勾股定理即可求出圆的半径．
（1）证明：连接OC，AD，
∵=，
∴OC⊥AD，∠ADC=∠DBC，
而∠DCE=∠CBD，则∠DCE=∠ADC，
∴CE∥AD，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；

（2）【解析】
设AD交OC于点F，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
由CE∥AD，
∴∠E=90°，
∵=，
∴OC⊥AD，AF=DF，
在Rt△CED中，设DE=x，则CE=2x，而CD=，
根据勾股定理得：，
解得：x=2，
∴DE=2，CE=4，
∵∠E=∠OCD=∠ADE=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴AF=DF=CE=4，CF=DE=2，
在Rt△OAF中，设OA=r，根据勾股定理得r2=42+（x-2）2
∴r=5．
答：所求的半径为5．