Question

如图平面直角坐标系中，半径为5的⊙O过点D、H，且DH⊥x轴，DH=8．
（1）求点H的坐标；

（2）如图，点A为⊙0和x轴负半轴的交点，P为弧AH上任意一点，连接PD、PH，AM⊥PH交HP的延长线于M，求的值；


（3）如图，设⊙O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点（与点P不重合），连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合），试探索：
①∠OGC+∠DOG是定值；②∠GBD+∠DOG是定值；哪一个结论正确，说明理由并求出其定值．

Answer

（1）连接OH，根据勾股定理求得OC=3，从而得出点H的坐标；
（2）连接AD、AH，作AN⊥PD于N，由邻补角的定义，得∠APM=∠ADH=∠AHD=∠APN，可以证明△ADN≌△AHM，由垂径定理可得AD=AE
则△ADN≌△AHM，从而得出求的值；
（3）由题意可得，弧DP=弧PN，则∠DOG=∠NOG，由△DEF是等腰三角形，得弧BN=弧CN，则∠OGC+∠NOG=90°，从而得出∠OGC+∠DOG=90°
【解析】
（1）连接OH，（1分）
∵DH⊥x轴，
∴DC=DH==4，（2分）
根据勾股定理OC2+HC2=OH2，
∴OC=3，（3分）
∴H（3，-4）；（4分）

（2）连接AD、AH，作AN⊥PD于N，（5分）
∵∠APM+∠APH，
=∠ADH+∠APH=180°，
∴∠APM=∠ADH=∠AHD=∠APN，
而AN⊥PD，AM⊥PH，
∴AM=AN，（6分）
又AP=AP，
∴△APM≌△APN（HL），
由垂径定理可得：，
∴AD=AH，
∴△ADN≌△AHM（HL），（7分）
∴PM=PN，DN=HM，
∴PD-PH=2PM，
∴；（8分）

（3）当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合），∠OGC+∠DOG是定值．理由如下：
过点D作DM⊥EF于M，并延长DM交⊙O于N，连接ON，交BC于T，（9分）
则弧DP=弧PN，
∴∠DOG=∠NOG，（10分）
∵△DEF为等腰三角形，DM⊥EF，
∴DN平分∠BDC，（11分）
∴弧BN=弧CN，
所以OT⊥BC，
∴∠OGC+∠NOG=90°，
∴∠OGC+∠DOG=90°．（12分）