Question

已知：如图，△PQR是等边三角形，∠APB=120°
求证：（1）△PQA∽△BRP；（2）AQ•RB=QR²．

Answer

（1）由于△PQR是等边三角形，那么∠PQR=∠PRQ=60°，则∠PQA=∠BRP=120°，利用∠PQR是△PQA的外角，可得∠PQR=∠APQ+∠PAQ=60°，而∠APB=120°，利用三角形内角和定理可得∠PAQ+∠RBP=60°，于是有∠APQ=∠RBP，利用相似三角形的判定可得△PQA∽△BRP；
（2）由（1）知△PQA∽△BRP，可得比例线段=，而△PQR是等边三角形，可知PQ=QR=PR，于是有AQ•RB=QR2．
【解析】
（1）∵△PQR是等边三角形，
∴∠PQR=∠PRQ=60°，
∴∠PQA=∠BRP=120°，
又∵∠PQR是△PQA的外角，
∴∠PQR=∠APQ+∠PAQ=60°，
∵∠APB=120°，
∴∠PAQ+∠RBP=60°，
∴∠APQ=∠RBP，
∴△PQA∽△BRP；

（2）∵△PQA∽△BRP，
∴=，
又∵△PQR是等边三角形，
∴PQ=RQ=PR，
∴AQ•RB=QR2．