Question

在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=-x²+（k-1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且AB=5．
（1）求点A与点B的坐标和此二次函数的解析式；
（2）如果点M在抛物线上，且，求点M的坐标；
（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．

Answer

（1）由解析式即可求出点A的坐标，根据AB=5即可求出点B的坐标；
（2）根据，即可求出点M的坐标；
（3）△ABP是等腰三角形，分①当AB=AP时，②当AB=BP时，③当AP=BP时三种情况讨论．
【解析】
（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，4），
∵AB=5，∴BO=3．∴点B的坐标为（-3，0）．
把点B的坐标（-3，0）代入y=-x2+（k-1）x+4，得-（-3）2+（k-1）×（-3）+4=0．
解得．
∴所求二次函数的解析式为；

（2）由，得|Mx|=2，
当x=2时，y=，得；
当x=-2时，y=，得；

（3）因为△ABP是等腰三角形，所以
①当AB=AP时，点P的坐标为（3，0）．
②当AB=BP时，点P的坐标为（2，0）或（-8，0）．
③当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0）．
根据题意，得．
解得．
∴点P的坐标为（，0）．
综上所述，点P的坐标为（3，0）、（2，0）、（-8，0）、（，0）．