Question

在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，Q是CD上任意一点，DP⊥AQ，交BC于点P．
求证：（1）DQ=CP；
（2）OP⊥OQ．

Answer

（1）要证明DQ=CP，证明△DCP≌△ADQ即可．
（2）要证明OP⊥OQ，证明∠POQ=90°即可，证明△OPC≌△OQD得到∠POC=∠QOD即可．
【解析】

（1）∵AD=CD，∠DCP=∠ADQ，
∠DQM+∠PDC=90°，∠DQM+∠DAQ=90°，
∴∠PDC=∠QAD，
在△DCP和△ADQ中，
，
∴△DCP≌△ADQ，
∴DQ=CP．

（2）在△OPC和△OQD中，
∵
∴△OPC≌△OQD，
∴∠POC=∠QOD，
∵∠QOD+∠QOC=90°
∴∠POC+∠QOC=∠POQ=90°，即OQ⊥OP．