Question

已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=7cm．两个动点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿着线段BC向点C运动，点Q以2厘米/秒的速度沿着线段CA向点A运动．
（1）P、Q两点在运动过程中，经过几秒后，△PCQ的面积等于4厘米²？经过几秒后PQ的长度等于5厘米？
（2）在P、Q两点在运动过程中，四边形ABPQ的面积能否等于11厘米²？试说明理由．
（3）经过几秒时以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer

（1）若使其面积为4，即S△PCQ=PC•QC=4，代入数据求解即可；
（2）若四边形ABPQ的面积能否等于11，即S△PCQ=-11=，建立方程，解方程看是否有解，若有，则存在；
（3）要使三角形相似，其对应边成比例即可．
【解析】
（1）可设经x秒后其面积为4，
即×（5-x）×2x=4，
解得x=1，
即经过1秒后，其面积等于4厘米2．
当经过t秒后PQ=5，
∵PC2+CQ2=PQ2，
∵PC=5-t，CQ=2t，PQ=5，
∴（5-t）2+（2t）2=52，
解得：t=0或2，
∴当经过0秒或2秒后PQ=5；

（2）若四边形ABPQ的面积能否等于11厘米2，即S△PCQ=-11=，
即×（5-x）×2x=，
化简得2x2-10x+13=0
△=b2-4ac=10×10-4×2×13＜0，
所以此方程无解．
故四边形ABPQ的面积不能等于11厘米2．

（3）若两个三角形相似，当PQ∥AB，即=，
解得x=．
当PQ不平行AB时，

解得：x=
即经过或秒后两三角形相似．