Question

如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA相邻的外角平分线CF于点F，点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

Answer

首先证明EO=CO，然后同理再证明FO=CO，再利用证明四边形是矩形，则要证明一个角为直角的平行四边形，通过题干条件证明之．
证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，FO=CO，
∴EO=FO．
当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是“平行四边形”，当∠ECF=90度时，平行四边形AECF是矩形，
∵EO=FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4=×180°=90°．
即∠ECF=90度，
∴平行四边形AECF是矩形．