Question

已知：△ABC中，∠BAC=135°，D、E在BC上（D在B、E之间），且AD=AE，∠DAE=90°，求证：
（1）DE²=2BD•CE，
（2）AB²：AC²=BD：CE．

Answer

可先作出简单的图形，结合图形进行分析；由题中条件可得△ABD∽△CAE，得出AD2=BD•CE，进而再由线段及垂直关系，第一问可求解，第二问在第一问的基础上替换一下即可．
证明：
（1）∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=45°，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠B+∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠C，又∠ADB=∠AEC=135°，
∴△ABD∽△CAE，
∴=，即AD•AE=BD•CE，即AD2=BD•CE，
又DE2=AD2+AE2=2AD2，
∴DE2=2BD•CE．

（2）由（1）得==，
===．